Local Outlier Factor（LOF）是基于密度的经典算法（Breuning et,al 2000）。之前的异常检测算法大都是基于统计，或借助聚类算法。但是基于统计的算法需要假设数据服从某种分布，聚类算法往往只能给出点是否是异常点，不能量化异常程度。而LOF则不对数据分布做太多要求，同时能给出每个点的异常程度。
K-distance, $d_k(x)$: 距离点x第k近的点与点x的距离.
K-distance neighborhood, $N_k(x)$: 点x的k近邻，其中：
\[|N_k(x)| \geq k\]reach-distance:
\[reach-dis_k(P, O) = \max\{d_k(O), d(P,O)\}\]k值越高，同一邻域内的点的可达距离将会越相似
local reachability density:
\[lrd(P) = \frac{1}{\frac{\sum_{O \in N_k(P)}reach-dis_k(P,O)}{|N_k(P)|}}\]点P的局部可达密度是P与P的k近邻内点的平均reach-distance的倒数。
local outlier factor:
根据局部可达密度的定义，如果一个数据点跟其他点比较疏远的话，那么显然它的局部可达密度就小。但LOF算法衡量一个数据点的异常程度，并不是看它的绝对局部密度，而是看它跟周围邻近的数据点的相对密度。
这样做的好处是可以允许数据分布不均匀、密度不同的情况。局部异常因子即是用局部相对密度来定义的。
\[LOF_k(P) = \frac{\frac{\sum_{O \in N_k(P)}lrd(O)}{|N_k(P)|}}{lrd(P)}\]LOF 的一个优点是它同时考虑了数据集的局部和全局属性。异常值不是按绝对值确定的，而是相对于它们的邻域点密度确定的。当数据集中存在不同密度的不同集群时，LOF表现仍然良好，比较适用于中等高维的数据集。
LOF算法中关于局部可达密度的定义其实暗含了一个假设，即：不存在大于等于 k 个重复的点。
当这样的重复点存在的时候，这些点的平均可达距离为零，局部可达密度就变为无穷大，会给计算带来一些麻烦。在实际应用时，为了避免这样的情况出现，可以把 k-distance 改为 k-distinct-distance，不考虑重复的情况。或者，还可以考虑给可达距离都加一个很小的值，避免可达距离等于零。
另外，LOF 算法需要计算数据点两两之间的距离，造成整个算法时间复杂度为$O(N^2)$ 。为了提高算法效率，后续有算法尝试改进。FastLOF （Goldstein，2012)先将整个数据随机的分成多个子集，然后在每个子集里计算 LOF 值。对于那些 LOF 异常得分小于等于 1 的，从数据集里剔除，剩下的在下一轮寻找更合适的 nearest-neighbor，并更新 LOF 值。
可用于异常检测，数据清洗。
异常检测（anomaly detection）又分为异常值检测和新颖值（奇异值）检测：